Matura 2025 matematyka poziom rozszerzony (maj, termin główny): arkusz CKE, odpowiedzi i zasady oceniania

W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji
pewnego gatunku bakterii. Liczebność $N$ populacji bakterii zmienia się w czasie zgodnie
z zależnością wykładniczą

$N(t)=N_0\cdot k^{t}\quad\text{dla }t\ge 0$

gdzie:
$N_0$ – liczebność populacji w chwili $t=0$ rozpoczęcia obserwacji,
$k$ – stała dodatnia, charakterystyczna dla danego gatunku bakterii i dla warunków
przeprowadzenia obserwacji,
$t$ – czas wyrażony w godzinach, liczony od chwili $t=0$ rozpoczęcia obserwacji.

W chwili rozpoczęcia obserwacji liczebność populacji była równa 10 000, a po dwóch
godzinach była równa 15 625.

Oblicz, o ile procent wzrastała liczebność populacji tej bakterii w ciągu każdej godziny.
Zapisz obliczenia.

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $a$ i dla każdej dodatniej liczby
rzeczywistej $b$ takich, że $b\ne \tfrac{1}{2}a$, prawdziwa jest nierówność

$$(a+2b)^{3}>8a^{2}b+16ab^{2}$$

W trójkącie równobocznym $ABC$ punkt $D$ leży na boku $BC$. Stosunek pola trójkąta $ABD$ do pola trójkąta $ADC$ jest równy $\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$.

Oblicz miarę kąta $DAC$. Zapisz obliczenia.